Многомерные обратные задачи для дифференциальных у

Peдкоcть! Лавpентьeв М.М. и др. Мнoгомeрные oбpатные зaдачи для диффеpeнциaльныx уpавнений.. Наукa Сибирcкоe отделение1969 год Под обpaтными задaчами для дифференциaльных урaвнeний маютcя задaчи oпределeния коэффициентов или правыx чaстей урaвнений пo нeкоторым функционaлaм от их решeний. Пpи этом иcкомые коэффициенты или правые части в дифференциальных уравнениях могут обть произвольными функциями некоторому функциональному пространству. их некорректность по Адамару. Центральным пунктом при теоретическом исследовании задачи, некорректной по Адамару, является доказательство теоремы единственности. Обратные задачи, для которых в монографии доказаны теоремы един- • ственности, — линейные, решение этих задач сводится к решению линейных операторных уравнений первого рода. Методы доказательства теорем единственности, примененные в моно- графии, позволяют строить специальные алгоритмы решения, а также дают возможность получить оценки характеризующие устойчивость постановок на некоторых конкретных компактах (например, на множестве функций с равномерно ограниченным модулем градиента). Работа состоит из пяти глав. В первой главе рассматриваются неко-торые задачи интегральной геометрии, которые заключаются в следующем. Дано семейство кривых. Известны значения интегралов некоторой функции по этим кривым. Требуется выленить, однозначно ли функция определяет-ся значениями ее интегралов вдоль этих кривых, и указать в явном виде, если это можно сделать однозначно, выражение функции через эти инте-гралы. Рассмотрены следующие семейства кривых: 1) семейство эллипсов с фокусом в начале координат и вторым фоку- 2) аналитическое семейство кривых, инвариантное относительно 3) семейство кривых, инвариантное относительно вращений вокруг начала координат, 4) семейство окружностей с центром на фиксированной прямой. Для каждого из этих случаев доказана однозначная определенность функции значениями ее интегралов вдоль семейства кривых и получена соответствующая формула обращения. Во второй главе рассмотрен ряд постановок линеаризированной обратной задачи для телеграфного уравнения, а в третьей главе — линеа-ризированная обратная кинематическая задача для волнового уравнения. Задачи этой части работы решаются путем сведения к интегрально-гео-метрическим задачам, рассмотренным в первой главе. В четвертой и пятой главах рассмотрен ряд постановок обратных задач для уравнения теплопроводности и одного уравнения эллиптиче-ского типа. С помощью аппарата Фурье-Лапласа установлены теоремы единственности соответствующих задач и получен алгоритм построения решения.